Berechnung der Koeffizienten der MacLaurin-Entwicklung

Für die Entwicklung einer Funktion $f(x)\;$ in eine Potenzreihe der Form \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \] gehen wir für einen Moment von zwei einfachen Annahmen aus:

1. wir nehmen an, dass die Entwicklung der Funktion in die obige Form grundsätzlich möglich und eindeutig ist - wenn diese Voraussetzung nicht gegeben wäre, wäre der Versuch einer Berechnung sinnlos.
2. die Funktion $f(x)\; $ ist in der Nähe der Entwicklungsstelle $x = 0\; $ beliebig oft differenzierbar, die Ableitungen der Funktion sind bekannt (oder zumindest prinzipiell berechenbar, so dass wir formal mit den Ableitungen rechnen können). Wir bezeichnen die Ableitungen an der Stelle 0 mit $f'(0), f''(0), f^{(3)}(0), f^{(4)}(0), \dots\;\;\;\;\; $.

innerhalb des Konvergenzradius r der Potenzreihe ist die Reihe einfach eine spezielle Darstellung der Funktion. Damit müssen die Ableitungen der Funktion und der Reihe natürlich identisch sein. Für die Funktion und ihre Ableitungen gilt also: \[ \begin{aligned} f(x) & = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \\ f'(x) & = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \dots \\ f''(x) & = 2 a_2 + 3\cdot 2 a_3 x + 4\cdot 3 a_4 x^2 + 5\cdot 4 a_5 x^3 + \dots \\ f^{(3)}(x) & = 3\cdot 2 a_3 + 4\cdot 3\cdot 2 a_4 x + 5\cdot 4\cdot 3 a_5 x^2 + 6\cdot 5\cdot 4 a_6x^3 + \dots \\ f^{(4)}(x) & = 4\cdot 3\cdot 2 a_4 + 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 a_5 x + 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 a_6x^2 + 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 a_7x^3 + \dots \\ &\vdots \end{aligned} \] Die Koeffizienten lassen sich jetzt relativ einfach über die Ableitungen an der Stelle $x_0\;$ (die wir ja als bekannt vorausgesetzt haben) berechnen. Da die Entwicklung um die Stelle $0$ durchgefürt wird, verschwinden beim Einsetzen von $x_0\;$ in die jeweilige Ableitung alle Terme, die die Variable $x $ enthalten. In den obigen Ableitungen bleibt jeweils der erste Summand übrig, also \[ \begin{aligned} f(0) &= a_0 = 0! a_0 \\ f'(0) &= a_1 = 1! a_1 \\ f''(0) &= 2\cdot 1 a_2 = 2! a_2 \\ f^{(3)}(0) &= 3\cdot 2\cdot 1 a_3 = 3! a_3 \\ f^{(4)}(0) &= 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 a_4 = 4! a_4 \\ &\vdots \end{aligned} \] (dabei wurde die übliche Definition $0! := 1$ benutzt - eine Konvention, die sich z. B. über das leere Produkt begründen lässt). Setzt man die Reihe gedanklich fort, so erkennt man, dass sich die $n $-te Ableitung an der Entwicklungsstelle 0 stets durch das Produkt der Fakultät von $n$ und des (gesuchten) Koeffizienten $a_n$ ergibt. Wir können also jede Zeile oben von rechts nach links lesen und die Zeile nach den gesuchten Koeffizienten auflösen. Damit lassen sich die Koeffizienten verallgemeinert angeben: \[ a_n = \frac{f^{(n)}}{n!} \;\;\; \text{ mit } f^{(n)} = \frac{d^n f(x)}{dx^n} \;\;\; \text{ und } n \in \mathbb{N} \]