Massenstrom

Für den Ausdruck S ~=~ rho A v gilt

S ~=~ {Delta m} / {Delta V} A {Delta l} / {Delta t} ~=~ {A Delta l}/{Delta V} {Delta m}/{Delta t} ~=~ {Delta m} / {Delta t}

Es handelt sich also tatsächlich um eine Massenstromdichte. Weil sie von den drei Größen (die oben multipliziert werden) abhängt, handelt es sich aber auch um eine Funktion von drei Variablen. Die gesamte Massenstromdichte ist konstant (d.h. Delta S ~=~ 0 ), daher bedingt eine Änderung einer der Variablen immer eine Änderung einer oder beider weiterer Variablen (in der Summe bleibt die Fkt. konstant, die einzelnen Beiträge heben sich gewissermaßen auf).

Die Frage ist jetzt, wie sich die einzelnen Beiträge der Funktion S ~=~ S(rho, A, v) verändern, wenn sich eine der Variablen verändert. Die Entwicklung einer Funktion mehrerer Variabler beschreibt das totale Differential einer Funktion (mein Skript Mathe 2, ziemlich weit hinten). In zwei Dimensionen sieht das so aus:

d f(x,y) ~=~ {delta f}/{delta x} d x ~+~ {delta f}/{delta y} d y

Benötigt werden die Ableitungen der Funktion nach jeweils einer der Variablen - die sind hier unhandlich. Das Logarithmieren ist ein einfacher Trick (Rechentechnik), um diese Ableitungen möglichst einfach durchführen zu können. Weil

Delta S ~=~ 0 ~~doubleleftright~~ Delta ln(S) ~=~ 0
und
ln(S) ~=~ ln(rho A v) ~=~ ln(rho) ~+~ ln(A) ~+~ ln(v)

gilt für den speziellen Fall der konstanten Funktion

d ln(S) ~=~ {delta ln(rho A v)}/{delta rho} d rho ~+~ {delta ln(rho A v)}/{delta A} d A ~+~ {delta ln(rho A v)}/{delta v} d v ~=~ 0

mit den Ableitungen

{delta ln(rho A v)}/{delta rho} ~=~ {delta (ln(rho) + ln(A) + ln(v))}/{delta rho} ~=~ {delta ln(rho)}/{delta rho} ~=~ 1/rho
{delta ln(rho A v)}/{delta A} ~=~ {delta (ln(rho) + ln(A) + ln(v))}/{delta A} ~=~ {delta ln(A)}/{delta A} ~=~ 1/A
{delta ln(rho A v)}/{delta v} ~=~ {delta (ln(rho) + ln(A) + ln(v))}/{delta v} ~=~ {delta ln(v)}/{delta v} ~=~ 1/v

Die Ableitungen müssen jetzt nur noch in die Gleichung eingesetzt werden:

d ln(S) ~=~ {delta ln(rho A v)}/{delta rho} d rho ~+~ {delta ln(rho A v)}/{delta A} d A ~+~ {delta ln(rho A v)}/{delta rho} d v ~=~ 1/rho d rho ~+~ 1/A d A ~+~ 1/v d v

oder für makroskopische Änderungen

Delta ln(S) ~=~ {Delta rho}/rho ~+~ {Delta A}/A ~+~ {Delta v}/v ~=~ 0.

Genau da wollten wir hin, richtig?