Lösung des Integrals $$ \int \sin^2(6x)dx = - \frac{1}{6}\sin(6x)\cos(6x) + \int \cos^2(6x)dx $$ (partielle Integration, passt). Mit \( \sin^2(x) + \cos^2(x) =1 \;\;\; \)   folgt $$ \int \sin^2(6x)dx = - \frac{1}{6}\sin(6x)\cos(6x) + \int 1 - \sin^2(6x) dx = - \frac{1}{6}\sin(6x)\cos(6x) + x -\int \sin^2(6x) dx $$ - im letzten Schritt steckt der Fehler im PDF, der Faktor a müsste an beide Summanden im Integral multipliziert werden! Jetzt das Integral rechts auf die linke Seite bringen und vereinfachen: $$ \int \sin^2(6x)dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{12}\sin(6x)\cos(6x) +C = \frac{6x - \sin(6x)\cos(6x)}{12} + C $$ Das ist schon eine prima Lösung, wenn man aber jetzt noch den Bruch mit zwei erweitert und ausnutzt, dass \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \)   (Additionstheorem, siehe z.B. hier), gibt das $$ \frac{12x - 2 \sin(6x)\cos(6x)}{24} \;\; + C = \frac{12x - \sin(12x)}{24} + C$$

Genau da wollten wir hin, richtig?

Berechnung des Faktors a: $$ a \int_0^{0.522} \sin^2(6x)dx = 0.5 $$ also $$ a = \frac{0.5}{\int_0^{0.522} \sin^2(6x)dx} = \frac{0.5}{\frac{12\cdot 0.522 - \sin(12\cdot 0.522)}{24}} $$ ... und hier ist das Ergebnis bei Wolfram Alpha.