Oettinger-physics.de
URI QR-encoded:http://vorlesung.oettinger-physics.de/script/coeff_maclaurin.php

Mac Laurin - Entwicklung: Koeffizienten

Berechnung der Koeffizienten der Mac Laurin-Entwicklung

Für die Entwicklung einer Funktion $f(x\;$ in eine Potenzreihe der Form $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots $$ gehen wir für einen Moment von zwei einfachen Annahmen aus:

  1. wir nehmen an, dass die Entwicklung der Funktion in die obige Form grundsätzlich möglich und eindeutig ist - wenn diese Voraussetzung nicht gegeben wäre, wäre der Versuch einer Berechnung sinnlos.
  2. die Funktion $f(x)\; $ ist in der Nähe der Entwicklungsstelle $x = 0\; $ beliebig oft differenzierbar, die Ableitungen der Funktion sind bekannt (oder zumindest prinzipiell berechenbar, so dass wir formal mit den Ableitungen rechnen können). Wir bezeichnen die Ableitungen an der Stelle 0 mit $f'(0), f''(0), f^{(3)}(0), f^{(4)}(0), \dots\;\;\;\;\; $.

innerhalb des Konvergenzradius r der Potenzreihe ist die Reihe einfach eine spezielle Darstellung der Funktion, so dass für die Funktion und ihre Ableitungen gilt: $$ \begin{align} f(x) &= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \\ f'(x) &= a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \dots \\ f''(x) &= 2 a_2 + 3\cdot 2 a_3 x + 4\cdot 3 a_4 x^2 + 5\cdot 4 a_5 x^3 + \dots \\ f^{(3)}(x) &= 3\cdot 2 a_3 + 4\cdot 3\cdot 2 a_4 x + 5\cdot 4\cdot 3 a_5 x^2 + 6\cdot 5\cdot 4 a_6x^3 + \dots \\ f^{(4)}(x) &= 4\cdot 3\cdot 2 a_4 + 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 a_5 x + 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 a_6x^2 + 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 a_7x^3 + \dots \\ &\vdots \end{align} $$ Die Koeffizienten lassen sich jetzt relativ einfach über die Ableitungen an der Stelle $x_0\;$ (die wir ja als bekannt vorausgesetzt haben) berechnen. Da die Entwicklung um die Stelle $0$ durchgefürt wird, verschwinden beim Einsetzen von $x_0\;$ in die jeweilige Ableitung alle Terme, die die Variable $x $ enthalten. In den obigen Ableitungen bleib jeweils der erste Summand übrig, also $$ \begin{align} f(0) &= a_0 = 0! a_0 \\ f'(0) &= a_1 = 1! a_1 \\ f''(0) &= 2\cdot 1 a_2 = 2! a_2 \\ f^{(3)}(0) &= 3\cdot 2\cdot 1 a_3 = 3! a_3 \\ f^{(4)}(0) &= 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 a_4 = 4! a_4 \\ &\vdots \end{align} $$ (dabei wurde die übliche Definition $0! := 1$ benutzt - eine Konvention, die sich z. B. über das leere Produkt begründen lässt). Setzt man die Reihe gedanklich fort, so erkennt man, dass sich die $n $-te Ableitung an der Entwicklungsstelle 0 stets durch das Produkt der Fakultät von $n$ und des (gesuchten) Koeffizienten $a_n$ ergibt. Wir können also nach den gesuchten Koeffizienten auflösen und die Koeffizienten verallgemeinert angeben: $$ a_n = \frac{f^{(n)}}{n!} \;\;\; \text{ mit } f^{(n)} = \frac{d^n f(x)}{dx^n} \;\;\; \text{ und } n \in \mathbb{N} $$