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komplexe Zahlen: Darstellung

Darstellung komplexer Zahlen

Eine komplexe Zahl kann in einen Realteil (den reellen Teil der Summe) und einen Imaginärteil (ohne die imaginäre Einheit) zerlegt werden: $z = Re(z) + i\cdot Im(z).$   Sie kann damit als Punkt in der Gauß-Ebene durch Angabe der Längen in Richtung zweier senkrechter Koordinatenachsen beschrieben werden (die kartesische Darstellung). Stellt man die Zahl in der Ebene durch einen Vektor vom Ursprung zu diesem Punkt vor, so erkennt man, dass derselbe Punkt über die Länge des Vektorpfeils und den Winkel, den er mit der $x$-Achse einschließt (Polarkoordinaten) beschrieben wird - jeder Punkt in der Gauß-Ebene kann in unterschiedlichen Koordinaten- oder Basissystemen dargestellt werden. Für komplexe Zahlen sind die folgenden Darstellungen üblich:

  • Die kartesische Darstellung:
    $z = a + i\cdot b \;\;\;$ mit dem Realteil $a$ und dem Imaginärteil $b$. Die beiden Teile der Zahl können als $x$ - und $y$ - Komponente eines Punkts im kartesischen Koordinatensystem (der Gaußschen Zahlenebene) aufgefasst werden.
  • Die trigonometrische Darstellung:
    entspricht der Darstellung der komplexen Zahl $z$ in Polarkoordinaten. Sind Real- und Imaginärteil von $z$ bekannt, können Winkel $\varphi$ und Länge $r$ des Ortsvektors zum Punkt in der Gauß-Ebene einfach bestimmt werden: $$ x = r\cdot\cos(\varphi), \;\;\;\; y = r\cdot\sin(\varphi) $$ $$ \Rightarrow \; z = x + i\cdot y = r (\cos\varphi + i\cdot \sin\varphi), $$ Die komplexe Zahl $z$ kann also als Summe gewichteter trigonometrischer Funktionen ausgedrückt werden.
  • Die Polardarstellung:
    mit Hilfe der Euler-Formel $$ e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\cdot \sin(\varphi) $$ kann die trigonometrische Form einer komplexen Zahl direkt in eine Exponentialfunktion umgeschrieben werden: $$ z = x + i\cdot y = r (\cos\varphi + i\cdot \sin\varphi) = r\cdot e^{i \varphi}. $$ Speziell diese Schreibweise ist nützlich, da sie eine kurze Schreibweise für komplexe Zahlen bietet, mit der sich Probleme wie harmonische Schwingungen sehr einfach behandeln lassen.

Alle drei Darstellungen beschreiben natürlich trotz ihrer vollkommen unterschiedlichen Erscheinung dieselbe komplexe Zahl, sie sind völlig äquivalent. $$ z = x + i\cdot y \equiv r (\cos\varphi + i\cdot \sin\varphi) \equiv r\cdot e^{i \varphi}. $$

Beispiel: gegeben ist eine Zahl $z \in \mathbb{C}$ in polarer, trigonometrischer oder algebraischer Schreibweise: $z$ =

Beispiel: Darstellung der komplexen Zahl $z \in \mathbb{C}$ in der Gaußschen Ebene:

z = = =
Komplex konjugiert: z* =
Betrag |z| =