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Würfel

Würfelexperimente

Diese Seite simuliert das Werfen von drei unterscheidbaren idealen Wüfeln. Ein idealer Würfel ist ein hervorragendes Modell für ein zufallsbehaftetes System, da er einerseits strengen mathematischen Regeln gehorcht, andererseits aber mit einem einfachen und verständlichen Mechanismus für zufälliges Verhalten ausgestattet ist (beim Würfel liegt der Zufall in seiner völlig symmetrischen Form mit den sechs gleichwertigen Seiten begründet).

Interessanterweise können auch Größen, die mit einer Unsicherheit (dem Zufall) behaftet sind, mit den Werkzeugen der Mathematik behandelt werden - dabei kann aber keine Aussage über den Ausgang eines oder einiger Ereignisse erhalten werden. Die mathematische Behandlung des Zufalls bewegt sich auf einer relativen Skala, für eine Vorhersage müssen immer mehrere (möglichst viele) Ereignisse betrachtet werden. Hier ist die Simulation:

mal

Augenzahl eines Würfels

Zurück zum Würfel: die einzelnen Seiten des Würfels sind absolut gleichwertig, also wird keine der Augenzahlen gegenüber anderen bevorzugt. Wäre es möglich, unendlich oft zu werfen, würde sich jede einzelne Augenzahl in einem Sechstel der Experimente ergeben. Diese Zahl ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Werfen des Würfels eine bestimmte Augenzahl zu erzielen. Die Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische Größe (es ist nicht möglich, ein Experiment unendlich oft zu wiederholen).

Wird lediglich einmal gewürfelt, erhält man natürlich auch nur eine Augenzahl. Wiederholt man das Experiment nun einige Male, so ergibt sich eine gewisse Zahl von Treffern für jede mögliche Augenzahl - die (absolute) Häufigkeit für das Ereignis 'eine bestimmte Augenzahl', aus dem sich die relative Häufigkeit bezogen auf die Zahl der Experimente ableiten lässt.

red

Es ist deutlich zu sehen, dass sich jede der Augenzahlen in angenähert einem Sechstel der Fälle ergibt. Die jeweilige relative Häufigkeit weicht aber im Allgemeinen leicht davon ab - genau dieses Verhalten nennen wir zufällig (der Ausgang eines Experiments ist nicht vorhersagbar). Je größer die Zahl der Wiederholungen, desto besser beschreibt die relative Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis (das ist der zentrale Grenzwertsatz oder Satz von Lindeberg und Lévy), die Wahrscheinlichkeit kann als Grenzwert der Häufigkeit für unendliche viele Experimente gesehen werden.

blue
green

Summe der Augenzahlen bei zwei Würfeln

Für die Augensumme zweier unabhängiger Würfel erwarten wir keine Gleichverteilung mehr (unterschiedlich viele Laplace-Experimente ergeben eine bestimmte Augensumme). Die Zufallsgröße entsteht in diesem Fall durch Summation zweier gleichverteilter Größen. Typisch für die Häufigkeitsverteilung einer solchen Zufallsgröße ist eine Dreiecksform.

double

Summe der Augenzahlen bei drei Würfeln

Auch für die Augensumme dreier unabhängiger Würfel ergibt sich natürlich keine Gleichverteilung mehr (auch hier ergeben unterschiedlich viele Laplace-Experimente eine Augensumme). Die Zufallsgröße entsteht dabei als Summe mehrerer gleichverteilter Größen, amn bezeichnet sie als normalverteilt. Die Form der Häufigkeitsverteilung nähert sich mit zunehmender Zahl der unabhängigen Summanden an eine Gaußsche Glockenkurve an.

triple