Die Fourier-Reihe

Eine einfache Fourier-Transformation

Eine periodische und abschnittsweise stetige Funktion kann in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt werden, die Fourierreihe (benannt nach Joseph Fourier). Die Entwicklung in eine solche Reihe ist ein Spezialfall der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Ausgangsfunktionen.

Abb. 1: die $2\pi\;$-periodische Funktion zur Fourier-Transformation.

Die periodische Rechteckfunktion $f(x)\; $ in Abb. 1, gegeben durch den analytischen Ausdruck

$f(x) = 1 \text{ für } 0 \leq x \lt \pi$
$f(x) = -1 \text{ für } \pi \leq x \lt 2\pi$

und ihre periodische Fortsetzung $f(x+2\pi) = f(x)\;\;\;$ soll in eine unendliche Reihe trigonometrischer Funktionen - die Fourier-Reihe - entwickelt werden.

Das Periodenintervall lässt sich in diesem Fall sicher in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die Funktion $f(x)\; $ stetig und monoton ist. An den Unstetigkeitsstellen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ existiert jeweils der rechte und der linke Grenzwert. Damit ist die Dirichlet-Bedingung erfüllt, die Fourierreihe konvergiert punktweise gegen die Ausgangsfunktion (etwas weniger vornehm: die Funktion kann entwickelt werden).

Die Fourier-Reihe besitzt allgemein die Form \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n \omega_0 x) + b_n \sin (n \omega_0 x) \] mit dem Periodenintervall $L$ und der Eigenfrequenz $\omega_0 = 2\pi / L\;\;\;$. Da es sich im Beispiel um eine $2\pi\;$-periodische Funktion handelt, ist $L = 2\pi\;$ und damit die Eigenfrequenz $\omega_0 = 1\;\;$, die Reihe vereinfacht sich also zu \[ \omega_0 = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n x) + b_n \sin (n x) \] mit den Koeffizienten \[ a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x) dx, a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x)\cos(nx) dx \text{ und } b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x)\sin(nx) dx. \] Es handelt sich um eine ungerade Funktion, also verschwinden alle geraden Glieder der Entwicklung (der Konstante Anteil und die Kosinus-Terme), die Fourier-Reihe reduziert sich zu \[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin (n x) \]

Es genügt also, die Koeffizienten $b_n\;$ zu bestimmen, um die Entwicklung anschreiben zu können. Da die Funktion $f(x)\;\;$ abschnittsweise definiert ist, muss zur Bestimmung natürlich ebenfalls über die jeweiligen Abschnitte integriert werden: \[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x)\sin(nx) dx = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi} f(x)\sin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int\limits_\pi^{2\pi} f(x) dx \\ &= \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi} 1\cdot \sin(nx) dx + \frac{1}{\pi}\int\limits_\pi^{2\pi} (-1)\cdot\sin(nx) dx \end{aligned} \] Die Stammfunktion des Sinus ist ein negativer Kosinus, damit sind die Integrale in beiden Bereichen einfach lösbar \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos (nx) \right]_0^\pi - \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos (nx) \right]_{\pi}^{2\pi} \] Für den Kosinus gilt $\cos(0) = 1\;\; $, $ \cos(n\pi) =1\;\;$ für gerade $n = 2, 4, 6, \dots\;\;\;$ und $ \cos(n\pi) =-1\;\;$ für ungerade $n = 1, 3, 5, \dots\;\;\;$ Wir unterscheiden also

für gerade $n $ : $b_n = \frac{1}{n\pi}(1-1 - (1 - 1)) = 0 $
für ungerade $n $ : $b_n = \frac{1}{n\pi}(1+1 - (-1 - 1)) = \frac{4}{n\pi} $

Die Koeffizienten der Fourierentwicklung reduzieren sich nochmals, sie verschwinden für gerade $n $. Die übrigen Koeffizienten der Entwicklung können durch eine Verschiebung des Index $n $ in der Summe geschlossen dargestellt werden: ungerade Werte $n = 1, 3, 5, \dots\;\;\;$ werden durch den Ausdruck $n = (2k - 1)\;\;\;$ mit $k = 1,2,3,4,\dots\;\;\;$ ersetzt. Da es sich um eine unendliche Summe handelt, ändert sich dadurch die obere Grenze nicht, der neue Index $k $ läuft wieder bis Unendlich. Die Koeffizienten lassen sich mit dem neuen Index einfach schreiben: \] b_k = \frac{4}{\pi} \frac{1}{2k-1} \text{ mit } k \in \mathbb{N} \] Damit kann die Fourier-Reihe der Funktion $f(x)\;$ schließlich als \[ \begin{aligned} f(x) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos (n x) + b_n \sin (n x) \\ & = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} \sin((2k-1)x) \end{aligned} \] geschrieben werden. Ausgeschrieben lauten die ersten Summanden der Fourierreihe also \[ f(x) = \frac{4}{\pi}\sin(x) + \frac{4}{\pi}\frac{1}{3}\sin(3x) + \frac{4}{\pi}\frac{1}{5} \sin(5x) + \dots \] Bricht man die Fourier-Reihe nun nach dem $n $-ten Summanden ab (man spricht dann auch von einem Fourier-Polynom vom Grad $ n $, so erhält man eine Näherung für den Verlauf der Kurve der Funktion $f(x)\;$ \[ f(x) \approx \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} \sin((2k-1)x) .\] Diese Näherung muss also in etwa den Verlauf der Rechteckfunktion in Abb.1 wiedergeben, die Näherung muss sich zudem mit ansteigendem $n $ verbessern. Diese beiden Behauptungen lassen sich natürlich recht einfach überprüfen: trägt man den Verlauf des Fourier-Polynoms in einem Diagramm auf, so ergibt sich das folgende Bild:

Abb. 2: Das Fourier-Polynom als Näherung der Rechteckfunktion aus Abb. 1, berechnet mit den oben bestimmten Fourier-Koeffizienten.

Schon mit einigen Gliedern der Näherung erhät man den groben Kurvenverlauf, mit steigender Zahl der Summanden nimmt die Qualität der Näherung schnell zu.

Mit dem Grenzübergang $n \to \infty\;\;\;$ erhält man schließlich einen exakten Ausdruck für die ursprüngliche Funktion - die beiden Kurven fallen zusammen.