Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist das Mittel für relative Größen (im Video: Verhältniszahlen). Es ist bei gleichgewichteten (also bezogen auf dieselbe Strecke!) Merkmalswerten $x_i$ das in der Formelsammlung aufgeführte: \[ x_h = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \] Das ist genau die Formel aus dem Video (ab 00:35).

Sind die Merkmalswerte zusätzlich gewichtet (und das unterschlägt das Video) funktioniert die Formel so natürlich nicht. Es wird ja ab 01:18 mit einer völlig anderen Formel gerechnet, mit \[ x_h = \frac{\sum_{i=1}^n g_i}{\sum_{i=1}^n \frac{g_i}{x_i}} \] - weil die Merkmalswerte im Beispiel unterschiedlich gewichtet sind (mit $\dfrac{5}{20}, \dfrac{6}{20}$ und $\dfrac{9}{20}$ der Gesamtstrecke). Das gewichtete harmonische Mittel ergibt sich, wenn man die einzelnen Beiträge (die Brüche im Nenner in der ersten Formel) mit den Faktoren (die Zwanzigstel) gewichtet. Im Rest des Videos wird aber eine eigenartige Mischform benutzt - statt den Gewichtungsfaktoren wird die jeweilige Strecke (die definiert die Gewichtung) absolut benutzt - deshalb stehen die Teilstrecken $g_i$ oben und unten...

Das Video benutzt hier eigentlich gar kein gewichtetes harmonisches Mittel, es macht stattdessen genau das, was ich auch tun würde: berechnet wird die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit - die ist definitiv die korrekte mittlere Geschwindigkeit: \[ \frac{s}{t} = \frac{50\text{km} + 60\text{km} + 90\text{km}}{\frac{50\text{km}}{150\text{km/h}} + \frac{60\text{km}}{120\text{km/h}} + \frac{90\text{km}}{90\text{km/h}}} \]