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Extras

Die Fakultät

Für ganze Zahlen n in bbN ist die Fakultät n! das Produkt aller positiven und ganzen Zahlen von 1 bis n:

n! ~ :~=~ ~ prod{i~=~1}{n}{i} ~~=~ 1·2·3·4 cdots (n - 1)·n

Beispiel zur Fakultät: 4! ~~=~~ 1·2·3·4 ~~=~~ 24

Als besondere Definition setzt man dabei ([*] warum denn?): 0! ~:~=~~ 1

Monome und Polynome

Unter einem Monom versteht man einen Ausdruck der Form a·x^k mit ~ k in bbN ~;~ a in bbR.

  • x ist die Variable (sie muss nicht reell sein!)
  • k ist der ganzzahlige Exponent
  • a wird als Koeffizient bezeichnet
Null ist als Exponent für eine reelle Variable zulässig, denn x^0 ~~=~~ 1 für alle x in bbR

Ein Polynom ist eine (endliche) Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen mit natürlichzahligen Exponenten (üblicherweise mit x bezeichnet):

P(x) ~~=~~ sum{i~=~0}{n} a_i x^i ~=~ a_0 x^0 + a_1 x + a_2 x^2 + cdots  + a_{n-1} x^{n-1} + a_n x^n

Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent nbezeichnet, für den der Koeffizient a_n des Monoms nicht null ist.

Beispielsweise ist P(x) ~~=~~ x^2 ein Polynom vom Grad 2

x^2 ~~=~~ sum{i~=~0}{2}{a_i x^i  ~~=~~ a_0 + a_1 x +a_2 x^2}

mit den Koeffizienten a_0 ~=~ a_1 ~=~ 0 und a_2 ~=~ 1

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n  >~=~ 1mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Dann hat es genau n Nullstellen, wenn sie entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Jedes Polynom positiven Grades kann also in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegt werden.

Rationale Zahlen sind reelle Zahlen, die sich als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Eine rationale Zahl kann also dargestellt werden als q ~=~ {z}/{n} mit z in bbZ ; n in bbN .

Komplexe, reelle, imaginäre Zahlen

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar - anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

[*]Warum definiert man 0! als 1?

Der wichtigste Grund ist wohl, dass man beim Umgang mit Fakultäten Terme erhält, in denen durch 0! geteilt wird, die aber nicht divergieren dürfen.

Eine logische Begründung liefert das leere Produkt: es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu multiplizieren.