Grundlagen – mathematische Symbole
Mathematik ist in vielen Fällen eine Sprache, in der sich bestimmte Dinge besonders einfach oder nachvollziehbar ausdrücken lassen. Wie jede andere Sprache muss man auch die Sprache der Mathematik (oder zumindest der Mathematiker) zuerst einmal erlernen, bevor man sie lesen oder sich sich in ihr unterhalten kann – das ist anfangs nicht einfach, weil diese Sprache streng formal und logisch aufgebaut ist.
In der Mathematik werden nicht nur eigene Vokabeln und eine Menge besonderer Buchstaben (meist aus dem griechischen Alphabet) benutzt, es wurden auch vollkommen neue Symbole eingeführt, mit deren Hilfe man komplizierte Sachverhalte kurz und eindeutig schreiben kann. Übrigens spielen konkrete Zahlen in der höheren Mathematik eine eher untergeordnete Rolle – auch daran muss man sich zunächst gewöhnen.
Es gibt eine Unmenge von Symbolen, die in der Mathematik eine besondere Bedeutung haben, die für den Einstieg in die Mathematik wichtigsten sind im Folgenden (ohne jeglichen Anspruch auf Vollständigkeit) zusammengefasst.
Logik
Hier sind die wichtigsten logischen Symbole - obwohl sie zum größten Teil aus der Logik stammen, werden sie in der gesamten Mathematik – wenn auch eher indirekt – bei der Beweisführung benötigt.
In der folgenden Tabelle stehen $ A, B\;\; $ und $ E\;\; $ für Aussagen im mathematischen Sinn, das $ M\;\; $ beschreibt eine Menge.
| Symbol | Bezeichnung | Sprechweise | Verwendung |
|---|---|---|---|
| $ \neg $ | Negation | nicht | $ \neg A $ |
| $ \land $ | Konjunktion | und | $ A \land B $ |
| $ \lor $ | Disjunktion | oder | $ A \lor B $ |
| $ \exists $ | Existenzquantor | Es gibt (mindestens) ein | $ \exists \; n \in \mathbb{N} $ |
| $ \exists ! $ | Existenzquantor | Es gibt genau ein | $ \exists ! \; n \in \mathbb{N} $ |
| $ \not \exists $ | Existenzquantor | Es gibt kein | $ \not \exists \; n \in \mathbb{N} $ |
| $ \forall $ | Allquantor | Für alle | $ \forall\; \varepsilon > 0 $ |
| $ \Rightarrow $ | Implikation | Aus … folgt … | $ A \Rightarrow B $ |
| $ \Leftrightarrow $ | Äquivalenz | äquivalent zu … genau dann, wenn … | $ A \Leftrightarrow B $ |
| $ : \Leftrightarrow $ | Definitionsäquivalenz | ist definitionsgemäß äquivalent | $ A : \Leftrightarrow B $ |
| $ := $, $=:$ | Definitionsgleichheit | ist definiert als | $ A := B $ |
| $ : $ | — | so dass | $ \forall\; n \in \mathbb{N} \;\; \exists\; q \in \mathbb{N} : q = 2\cdot n \;\;\;\;\; $ |
| $ \equiv $ | — | … identisch … oder … kongruent … | $ \sin^2(x) + \cos^2(x) \equiv 1 $ $12 \equiv 27 \mod 5 $ |
Das Symbol $ \lor\; $ beschreibt das „logische oder“, es bedeutet nicht „entweder/ oder “ sondern schließt das „und“ mit ein. Sind beispielsweise $ A, B $ Aussagen, die wahr oder falsch sein können, dann bedeutet $ A \lor B\;\; $: $A $ ist wahr oder $ B $ ist wahr. Eine der Aussagen kann somit falsch sein – beim „logischen oder“ ist es aber nicht ausgeschlossen, dass beide wahr sind.
Die Quantoren sind in Verbindung mit Implikations- und Äquivalenzpfeilen, dem Definitionszeichen und dem Doppelpunkt (der auch als „gilt“oder manchmal „mit“ gelesen werden kann) eine schlaue Möglichkeit, komplizierte Beziehungen kurz und eindeutig darzustellen. Das obige Beispiel $ \forall\; n \in \mathbb{N} \;\; \exists\; q \in \mathbb{N} : q = 2\cdot n \;\;\;\;\;$ bedeutet in Worten: für jede natürliche Zahl $ n\;\; $ gibt es eine weitere natürliche Zahl $ q\;\; $, die genau das Doppelte von $n\;\;$ ist. Es ist natürlich etwas konstruiert, drückt aber kurz und deutlich aus, dass das Doppelte einer natürlichen Zahl immer ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
Beim Definitionszeichen steht der Doppelpunkt in $:=$ auf der Seite, auf der das zu definierende Objekt steht.
Das Zeichen $ \equiv\;\; $ steht für die Identität oder die Kongruenz von zwei Ausdrücken. Es wird beispielsweise im Zusammenhang mit Gleichungen benutzt, die für alle möglichen Parameterwerte erfüllt sind. Wenn mit $ \equiv\;\; $ eine Kongruenz beschrieben wird, dann sieht das beispielsweise so aus: $12 \equiv 27 \mod 5\;\;\; $ (in Worten : 12 ist kongruent zu 27 modulo 5). Beide Zahlen ergeben den Rest 2, wenn sie durch 5 geteilt werden, daher sind sie kongruent zueinander bezüglich 5.
Mengen
Mengen werden in der Mathematik meist mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet ($A, B, M\;\; $ in der Tabelle sind Mengen), für die Elemente der Menge benutzt man oft kleine Buchstaben.
| Symbol | Bezeichnung | Sprechweise | Verwendung |
|---|---|---|---|
| $ \in $ | — | … Element in … … aus … | $ x \in X $ |
| $ \not \in $ | — | … nicht Element in … … nicht aus … | $ x \in X\;\;$, aber $ x \not \in Y$ |
| $ \{\dots\} $ $\{ \dots | \dots \} $ $\{ \dots : \dots \} $ | Mengenklammern | Die zweite und dritte Schreibweise liest sich: Menge aller …, für die gilt … | $\{ 13, 2, 17, 15, 3 \} $ $\{ n \in \mathbb{N} | n \text{ ist gerade} \} $ $\{ n \in \mathbb{N} : n \text{ ist gerade} \}$ |
| $ \{\}, \emptyset $ | Leere Menge | … ist leer | $ M = \emptyset, M = \{\}$ |
| $\subset $ | Inklusion | … Teilmenge von … | $A \subset B $ |
| $\cap$ | Durchschnitt | … geschnitten … | $A \cap B $ |
| $\cup $ | Vereinigung | … vereinigt … | $A \cup B $ |
| $\setminus $ | Differenz | … ohne … | $A \setminus B $ |
Mengen werden in den einfachsten Fällen dadurch definiert, dass ihre Elemente als ungeordnete Liste in geschweiften Klammern aufgezählt werden, etwa: $\{ 1, 3, 5, 7 \}\;\; $. Das funktioniert natürlich nur bei endlichen Mengen. Alternativ kann eine Menge auch über die Eigenschaften ihrer Elemente definiert werden: $ M := \{ n \in \mathbb{N} | n \text{ ist gerade}\}\;\;\;\; $. Die Menge $ M\; $ lässt sich in Worten folgendermaßen definieren: $M $ ist die Menge aller natürlichen Zahlen $n $, für die gilt, daß $n $ eine gerade Zahl ist. Schon an diesem Beispiel wird einer der Vorteile klar: die hier definierte Menge hat unendlich viele Elemente.
Der Durchschnitt, die Vereinigung und die Differenz sind die typischen Mengenoperationen. Zwei Mengen $ A, B $ sind disjunkt, wenn $ A \cap B = \emptyset$, also wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
Die logischen Symbole $ \land\;$ und $\lor \;$ können nicht nur für Aussagen sondern auch für die Elemente einer Menge $a \in A\;$ und $b \in B\; $ verwendet werden, beispielweise in $A \cap B := \{ x : x \in A \land x \in B \}\;\;\;\;\; $. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als: $A $ geschnitten $ B $ ist die Menge aller $x $, für die gilt: $ x $ ist Element in $A $ und $ x $ ist Element in $B $.
Neben den speziellen Eigenschaften, die Mengen so haben können, ist in der Mathematik auch stets die Frage interessant, welche Abbildungen die Eigenschaften bestimmter Mengen erhalten. Daher spielen die Abbildungen von Mengen in eine sehr wichtige Rolle.
Zahlenmengen
Gewisse Klassen von Zahlen werden so oft benötigt, dass in der Mathematik dafür spezielle Symbole benutzt werden, die Mengen von Zahlen mit festgelegten Eigenschaften definieren. Beispielsweise bezeichnet man die Menge der natürlichen Zahlen (die ganzen Zahlen größer Null) als $\mathbb{N}$. Die üblichsten dieser vorgefertigten Zahlenmengen sind
| Symbol | Bezeichnung | Beschreibung |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | Menge der natürlichen Zahlen (ohne oder mit Null) | $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \} $ $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ |
| $\mathbb{P}$ | Menge der Primzahlen | $\mathbb{P} = \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots \} $ |
| $\mathbb{Z}$ | Menge der ganzen Zahlen | $\mathbb{Z} = \{ \dots -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$ |
| $\mathbb{Q}$ | Menge der rationalen Zahlen | $\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} | m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$ |
| $\mathbb{R}$ | Menge der reellen Zahlen | $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{ \text{ irrationale Zahlen, z. B. } \pi, e, \sqrt{2} \}\;\;\;\;\;\;$ |
| $\mathbb{C}$ | Menge der komplexen Zahlen | $\mathbb{C} = \{ a + ib | a, b \in \mathbb{R} \}\;\;\;\;$, wobei $i^2 := -1$ |
| $M_+$ | Menge der positiven Zahlen aus M | $M_+ = \{ x \in M | x \geq 0 \}$ |
| $M_-$ | Menge der negativen Zahlen aus M | $M_- = \{ x \in M | x \lt 0 \}$ |
Abbildungen
Abbildungen kennt jeder unter der Bezeichnung Funktion. Sie ordnen Objekten (oft Zahlen) einer Definitionsmenge eindeutig Objekte einer Wertemenge zu.
Eine Funktion (lateinisch functio: Tätigkeit oder Ausführung) oder Abbildung ist eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge $X$ (Funktionsargument oder unabhängige Variable) genau ein Element der anderen Menge $Y$ (Funktionswert oder abhängige Variable) zuordnet. Die Abbildung $ f: X \longmapsto Y, x \longmapsto f(x) \;\;\;\; $ verändert also ein Element $ x \in X \;$ so, dass es nach der Abbildung zu einem Element $ y := f(x) \in Y\;\; $ wird.
Was bei der Abbildung mit $ x \in X \;$ geschieht, wird durch die Abbildungsvorschrift $ f(x) $ festgelegt, beispielsweise $ f(x) := x^2 \;\;$. Damit kann die Abbildung in Worte gefasst werden: $f$ von $X$ nach $Y$ mit $x$ abgebildet auf $f(x) $ definiert als $x^2 \;$.
| Symbol | Bezeichnung | Sprechweise | Verwendung |
|---|---|---|---|
| $\longmapsto $ | Zuordnungspfeil | … wird abgebildet auf … | $ x \longmapsto f(x) $ |
| $\longrightarrow $ | — | … von … nach … | $ f : D \rightarrow W $ |
| $\circ $ | Komposition, Verknüpfung oder Verkettung | … Kringel … … verknüpft mit … | $ f \circ g : D \rightarrow W $ |
| $f^{-1} $ | Umkehrabbildung oder inverse Abbildung von $ f $ | Die inverse Abbildung von … | $ f^{-1} : W \rightarrow D $ |
| $ f^{-1} $ | Urbild von $ f $ | Das Urbild der Menge … unter der Funktion… | $ f^{-1}(W) = \{ x \in D | f(x) \in W \} $ |
Der Kringel $\circ\;$ ist das mathematische Symbol für die Ausführung von zwei Abbildungen nacheinander. Dabei gilt $ (f \circ g) (x) = f(g(x))\;\;\;\;$ . Die Abbildung $g $ auf der rechten Seite wird zuerst ausgeführt, ihr Wert ist das Argument für die zweite Abbildung $f $.
Die inverse Abbildung $f^{-1} $ bildet ein Element aus der Menge der Zielwerte $ y \in W \;\; $ der Funktion $f $ auf ein Element ihrer Definitionswerte, $ x \in D \;\;$ ab. Das bedeutet, dass die inverse Abbildung $f^{-1} $ die Abbildungsvorschrift von $f $ einfach umkehrt.