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komplexe Zahlen

Square Root Magic reloaded - komplexe Zahlen

Die Wurzel ist ein seltsames Tier. Wie im ersten Teil des Ausflugs ins Zahlenwunderland lassen sich irrationale Zahlen relativ leicht anhand der Wurzel einer ganzen Zahl begründen. Noch interessanter sind komplexe Zahlen - und wieder stößt man direkt auf die Notwendigkeit einer weiteren Art von Zahlen, wenn man die Wurzel einer reellen Zahl betrachtet.

Eine einfache quadratische Gleichung der Form

$$ x^2 - a = 0 \; \mbox{ mit } a \in \mathbb{R} \; \mbox{ und } a \geq 0$$

lässt sich problemlos lösen - wir schreiben dafür eine Quadratwurzel als Umkehrung der zweiten Potenz und erhalten gleich zwei Lösungen, die die Gleichung erfüllen: \( x_{1,2} = \pm \sqrt{a} \). Man gewöhnt sich im Laufe einer Schullaufbahn oft daran, dass dieselbe Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen, $$ x^2 + a = 0 \; \mbox{ mit } a \in \mathbb{R} \; \mbox{ und } a \geq 0$$ nicht auftritt oder nicht behandelt wird (leider wird die Gleichung oft sogar als nicht lösbar bezeichnet). Warum denn eigentlich?

Die Antwort ist ganz einfach - keine der Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \)   ergibt eine negative Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert (quadriert) wird. Stellt man sich die reellen Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor, so teilt die Null die Menge der Zahlen in zwei Teile - wir haben erkannt, dass jede Zahl aus der positiven rechten Hälfte durch quadrieren einer (reellen) Zahl erzeugt werden kann. Auch wenn eine negative Zahl (aus der linken Hälfte) quadriert wird, ergibt sich immer eine positive Zahl!

Probleme bereitet die linke Hälfte, keine der negativen Zahlen lässt sich durch das Quadrat einer reellen Zahl erzeugen. Es ist aber kein Grund erkennbar, warum man eine Zahl unter Null nicht auf diese Art erzeugen können sollte - außer der Tatsache, dass wir keine Zahl kennen, die ein solches Ergebnis liefert.

Wenn ein Grund für das unterschiedliche Verhalten der Zahlen unter und über Null aber nicht bekannt ist, kann man sich auf den Standpunkt stellen, dass solche Zahlen bisher einfach noch nicht betrachtet wurden. Aus der Sicht eines Mathematikers haben wir damit eine hochinteressante Art von Zahlen gefunden, denn - sie fehlen noch!

Die interessante Frage ist also eigentlich: warum sollte es keine Zahlen geben, die quadriert eine Zahl kleiner als Null ergeben? Bereits 1545 machte sich Gerolamo Cardano Gedanken über diese Frage.

die imaginären Zahlen

Nehmen wir für den Moment einfach an, dass es Zahlen gibt, die wir quadrieren können und die dabei ein negatives Ergebnis liefern. Um eine solche Zahl von einer reellen Zahl zu unterscheiden (die man üblicherweise mit $x$ bezeichnet), nennen wir sie einfach $v$. Dann muss unsere besondere Zahl ganz bestimmte Eigenschaften haben:

  1. ihr Quadrat muss kleiner Null sein: $$ v^2 = -|a| \Leftrightarrow v = \pm \sqrt{-|a|} = \pm \sqrt{-1} \sqrt{|a|}.$$ Der Betrag in der zweiten Wurzel ist sicher positiv und die Wurzel damit reell - es ist also immer möglich, eine solche Zahl als das Produkt eines speziellen Faktors $\sqrt{-1} \;$ und einer reellen Zahl darzustellen (ganz analog kann jede reelle Zahl als das Produkt der Zahl 1 und einer reellen Zahl dargestellt werden).
     
  2. die Summe zweier solcher Zahlen (mit negativem Quadrat) kann keine reelle Zahl ergeben, denn $$ v_1 + v_2 = \sqrt{-1} \sqrt{|a_1|} + \sqrt{-1} \sqrt{|a_2|} = \sqrt{-1} (\sqrt{|a_1|} + \sqrt{|a_2|} ) = \sqrt{-1} \sqrt{|a_3|}$$ ist ebenfalls eine Zahl mit negativem Quadrat.

Offensichtlich lassen sich die 'neuen Zahlen' also mit Hilfe eines speziellen Faktors aus den bekannten reellen Zahlen entwickeln - das ist sinnvoll, weil wir für reelle Zahlen ein gewisses Verständnis entwickelt haben. Um jetzt mit nicht-reellen Zahlen umzugehen, genügt es, eine spezielle neue Zahl zu definieren: die imaginäre Einheit.

Die Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^2 = -1 \;\;$ heißt imaginäre Einheit .

Da sich alle unserer neuen Zahlen als Produkt der imaginären Einheit und einer reellen Größe darstellen lassen, haben wir uns damit eine neue Klasse von Zahlen erzeugt - die imaginären Zahlen. Sie sind offensichtlich linear unabhängig von den reellen Zahlen (eine reelle Zahl kann nicht als Summe imaginärer Zahlen dargestellt werden und umgekehrt).

komplexe Zahlen

Die imaginären Zahlen lassen sich nicht durch reelle Zahlen darstellen, die Summe zweier imaginärer Zahlen ist also stets eine imaginäre Zahl. Das Produkt zweier imaginärer Zahlen ist aber immer reell (die imaginäre Einheit wird quadriert!). Die Menge der imaginären Zahlen ist nicht vollständig - die Idee, die Menge der reellen Zahlen um die imaginären Zahlen zu erweitern und damit eine neue - abgeschlossene - Menge zu bilden, ist vermutlich vernünftig. Wir definieren einfach eine neue Zahlenmenge, die die reellen Zahlen, die imaginären Zahlen und alle Kombinationen davon enthält:

Die Menge der Komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ist die Menge aller Zahlen $z$, für die gilt
$ z = a + i \cdot b \;\;; a,b \in \mathbb{R} \;\;\;$ mit der imaginären Einheit $i$.

Eine komplexe Zahl kann in einen Realteil (den reellen Teil der Summe) und einen Imaginärteil (den imaginären Teil geteilt durch die imaginäre Einheit) zerlegt werden: $z = Re(z) + i\cdot Im(z)$. Wir haben es damit geschafft, eine komplett neue Klasse von Zahlen zu definieren (die imaginären Zahlen) und diese neuen Zahlen mit den bekannten reellen Zahlen zu einer neuen Menge $\mathbb{C}$ zu kombinieren - eigentlich ganz einfach dadurch, dass wir die Teile der Zahlen, die wir uns nicht vorstellen können, auf eine neue (und noch immer nicht vorstellbare) Zahl $i$ zurückgeführt haben!

Wie rechnet man nun mit komplexen Zahlen? Wieder führt die einfache mathematische Vorgehensweise direkt zum Ziel: komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil, die linear unabhängig voneinander sind. Betrachtet man die imaginäre Einheit als Parameter, so können komplexe Zahlen unter Beachtung der bekannten Rechenregeln wie gewohnt addiert und multipliziert werden. Beachtet man dabei die Besonderheit $i^2 = -1$, so ergibt sich alles andere von selbst.

Beispiele dazu:

$$z_1 = 2 + 5i \;,\; z_2 = 1 - 3i$$
Addition: die imaginäre Einheit wird als Parameter betrachtet $$z_1 + z_2 = 2 + 5i + (1 - 3i) $$ $$ = 2 + 1 + 5i - 3i = (2+1) + (5-3)i$$ $$ = 3 + 2i$$ Multiplikation:
$$ z_1 \cdot z_2 = (2 + 5i) (1 - 3i)$$ $$ = 2 -6i + 5i - 15i^2 = 2 - (-1)\cdot 15 - 6i + 5i$$ $$ = 17 - i $$

Obwohl die Art, wie wir an die komplexen Zahlen herangegangen sind, zunächst etwas naiv scheint, ist das Ergebnis beeindruckend - zwei einfache Eigenschaften der imaginären Zahlen reichen aus, um zu verstehen, wie man mit komplexen Zahlen rechnen kann. Nun ist es an der Zeit, sich Gedanken über das warum zu machen - nur eingefleischte Naturwissenschaftler sind damit zufrieden, eine neue, beeindruckende Zahlenmenge kennengelernt zu haben, ohne sie in irgendeiner Weise sinnvoll anwenden zu können. Zusätzlich zeigen die komplexen Zahlen einige hochinteressante Eigenschaften, die die Berechnung komplizierter Sachverhalte teilweise immens vereinfachen - sie sind in vielen Fällen ein mächtiges Werkzeug.

Gaußsche Zahlenebene (Arganddiagramm)

Die gaußsche Zahlenebene oder das Arganddiagramm stellt eine geometrische Interpretation der Menge der komplexen Zahlen dar, die von Carl Friedrich Gauß eingeführt wurde (eine solche Ebene wurde bereits einige Jahre früher von Jean-Robert Argand benutzt, eine noch ältere Beschreibung stammt von Caspar Wessel).

In der Gaußebene werden komplexe Zahlen in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt, indem der Realteil auf der x-Achse und der Imaginärteil auf der y-Achse aufgetragen werden. Das dient zunächst einfach der Vorstellung. Eine komplexe Zahl beschreibt in dieser Darstellung einen Punkt in der durch die beiden Achsen aufgespannten Ebene. Da Imaginär- und Realteil einer komplexen Zahl voneinander unabhängig sind, kann man sie als Komponenten eines Vektors in zwei Dimensionen betrachten, die Menge der komplexen Zahlen als den zugehörigen Vektorraum. Man zeichnet eine komplexe Zahl in der Gaußebene daher oft als als Vektorpfeil aus dem Ursprung.

Ein Punkt in der Ebene kann durch Angabe der Längen in Richtung der beiden Koordinatenachsen beschrieben werden (die kartesische Darstellung). Gleichzeitig existieren andere, eindeutige Beschreibungen, beispielsweise über die Länge des Vektorpfeils und den Winkel, den er mit der $x$-Achse einschließt (Polarkoordinaten) - der Punkt kann in unterschiedlichen Koordinatensystemen dargestellt werden. Die drei wichtigsten sind unten dargestellt (Wie geht das?).

Ausprobieren? Hier kann eine Zahl $z \in \mathbb{C}$ in polarer, trigonometrischer oder algebraischer Schreibweise eingegeben werden, die im Argand-Diagramm dargestellt wird:

Darstellung der komplexen Zahl z in der Gaußschen Ebene:

z =
= kartesisch
= trigonometrisch
= Polardarstellung
z*= komplex konjugiert
|z| = Betrag

Summe, Produkt

Stellt man die komplexe Zahl $z = a + ib$ im Arganddiagramm dar, kann sie als Vektor verstanden werden. Vergleicht man die oben berechnete Summe zweier Zahlen mit der Summe der Komponenten eines Vektors, so erkennt man sofort, dass die Summe zweier komplexer Zahlen $z_1$ und $z_2$ in der Grafik einer Vektoraddition entspricht: $$ z_1 + z_2 = a_1 + ib_1 + a_2 + ib_2 = (a_1+a_2) + i\cdot(b_1+b_2)$$ Komplexe Zahlen können in der Gaußebene wie Vektoren direkt addiert werden, indem die Komponenten summiert werden.

Das Produkt komplexer Zahlen lässt sich in der Polardarstellung einfach berechnen: $$ z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i \varphi_1} \cdot r_2 e^{i \varphi_2} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i \varphi_1} \cdot e^{i \varphi_2} $$ $$ = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} = R \cdot e^{i \Phi} $$ Das Produkt $z_1 \cdot z_2$ ist also eine komplexe Zahl mit dem Betrag $R = r_1 \cdot r_2$ und der Phase $\Phi = \varphi_1 + \varphi_2$. In der Gauß-Ebene werden bei der Multiplikation die Längen der Vektoren multipliziert und die Winkel addiert.

Ein Beispiel: benötigt werden zwei komplexe Zahlen
$z_1$ = , $z_2$ =

Die Summe der beiden Zahlen ist dann $z_1 + z_2$ = (2+1)+ (3-1)i = 3+2i,
das Produkt ist $z_1 \cdot z_2$ = 3+2i

Die Summe zweier komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition.
Produkt zweier komplexer Zahlen: die Längen der Vektoren werden multipliziert, die Winkel addiert.




[*]Cardano und die komplexe Zahl:

Wenn jemand sagt: teile 10 in zwei Teile, deren Produkt (...) 40 ist, so ist klar, dass dieser Fall unmöglich ist. Desungeachtet wollen wir wie folgt verfahren: Wir teilen 10 in zwei gleiche Teile, von denen jeder 5 ist. Diese quadrieren wir, das macht 25. Wenn du willst, subtrahiere 40 von den gerade erhaltenen 25 (...); der damit erhaltene Rest ist -15, die Quadratwurzel daraus, addiert zu oder subtrahiert von 5 gibt die beiden Teile mit dem Produkt 40. Diese sind also 5 + √-15 und 5 - √-15.

(aus Ars Magna, Gerolamo Cardano 1545. Was Cardano hier in Worten beschreibt ist die Lösung der einfachen quadratischen Gleichung $x (10-x) = 40$, die keine reelle Lösung besitzt.